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" 0 18 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 18 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 
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3 Font 0" -1 256 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Helvetica" 1 12 128 0 128 1 2 1 
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" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }
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" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }
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" 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }}
{SECT 0 {EXCHG {PARA 18 "" 0 "" {TEXT -1 66 "GRAPHICAL APPROACH TO THE
 SECOND FOUNDALMENTAL THEOREM OF CALCULUS" }}{PARA 19 "" 0 "" {TEXT 
-1 12 "Wei-Chi Yang" }}{PARA 259 "" 0 "" {TEXT -1 40 "Department of Ma
thematics and Statistics" }}{PARA 260 "" 0 "" {TEXT -1 37 "Radford Uni
versity, Radford, VA 24142" }}{PARA 261 "" 0 "" {TEXT -1 15 "wyang@run
et.edu" }}{PARA 258 "" 0 "" {TEXT -1 27 "http://www.runet.edu/~wyang" 
}}{PARA 3 "" 0 "" {TEXT 259 9 "Objective" }{TEXT -1 1 ":" }}{PARA 0 "
" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 72 "In this note we sh
all use graphs of Riemann sums to provide an intuitive" }}{PARA 0 "" 
0 "" {TEXT -1 144 "approach of understanding the Second Fundamental Th
eorem of Calculus. We recall that the Second Fundamental Theorem of Ca
lculus may be stated as" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 8 "follows:" }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 256 7 "Theorem" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 55 "L
et  f  be continuous on an open interval  I, and let  " }{TEXT 261 1 "
a" }{TEXT -1 18 "  be any point in " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 23 "I.
 If F  is defined by " }}{PARA 262 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 262 "
" 0 "" {TEXT -1 5 "F(x)=" }{XPPEDIT 18 0 "int(f(t),t=a..x)" "-%$intG6$
-%\"fG6#%\"tG/F(;%\"aG%\"xG" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 
0 "" 0 "" {TEXT -1 32 "then F'(x) = f(x). For example, " }{XPPEDIT 18 
0 "diff(int(cos(t),t=a..x),x)" "-%%diffG6$-%$intG6$-%$cosG6#%\"tG/F+;%
\"aG%\"xGF/" }{TEXT -1 3 " = " }{XPPEDIT 18 0 "cos(x) " "-%$cosG6#%\"x
G" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 15 "at each point  " }{TEXT 262 1 "x" }
{TEXT -1 20 "  in the interval I." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 40 "Note that if there is a closed form for \+
" }{XPPEDIT 18 0 "int(f(t),t=a..x)" "-%$intG6$-%\"fG6#%\"tG/F(;%\"aG%
\"xG" }{TEXT -1 20 ", then it is easy to" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 
32 "check if F'(x) = f(x). However, " }{TEXT 257 33 "most of the time,
 we don't have a" }}{PARA 263 "" 0 "" {TEXT -1 16 "closed form for " }
{XPPEDIT 18 0 "int(f(t),t=a..x) " "-%$intG6$-%\"fG6#%\"tG/F(;%\"aG%\"x
G" }{TEXT 263 2 ". " }{TEXT -1 53 "We hope the approach we take in thi
s note can fill in" }}{PARA 264 "" 0 "" {TEXT -1 9 "this gap." }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 129 "First, w
e define the function  f. (note that we pick a simple function below, \+
users can pick any complex functions on their own.)" }}}{EXCHG {PARA 
0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "f:=proc(x) cos(x) end;" }}{PARA 11 "" 1 "
" {XPPMATH 20 "6#>%\"fG:6#%\"xG6\"F(F(-%$cosG6#9$F(F(" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 42 "We shall use a Riemann sum to approximate
 " }{XPPEDIT 18 0 "int(f(t),t=a..x" "-%$intG6$-%\"fG6#%\"tG/F(;%\"aG%
\"xG" }{TEXT -1 12 ". We use the" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 38 "midpo
int rule to define the following " }{TEXT 260 12 "Riemann Sum," }
{TEXT -1 9 " M, of f." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "> " 
0 "" {MPLTEXT 1 0 73 "M:=proc(a,x,n) ((x-a)/n) * sum(f(a+(x-a)/(2*n) +
 i*(x-a)/n), i=0..n) end;" }}{PARA 12 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"MG:6%
%\"aG%\"xG%\"nG6\"F*F**(,&9%\"\"\"9$!\"\"F.9&F0-%$sumG6$-%\"fG6#,(F/F.
*&F,F.F1F0#F.\"\"#*(%\"iGF.F,F.F1F0F./F=;\"\"!F1F.F*F*" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 63 "Next, we define the derivative function, \+
DM, of M(a,x,n) below:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 37 "DM:=proc(
a,x,n) diff(M(a,x,n),x) end;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#DMG
:6%%\"aG%\"xG%\"nG6\"F*F*-%%diffG6$-%\"MG6%9$9%9&F2F*F*" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 104 "We now create the animation to visualize
 that when n goes to infinity, we shall obtain DM tends to f(x)." }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "with(plots):" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "for k from 1 by 1 to 30 do " }}
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 54 "P.k:= plot (\{cos(x),DM(0,x,k)\}, x
=-3..3, thickness=2):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 3 "od:" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 53 "plots[display]([seq(P.k, k=1
..30)], insequence=true);" }}{PARA 13 "" 1 "" {INLPLOT "6#-%(ANIMATEG6
@7&-%'CURVESG6%7]q7$$!\"$\"\"!$\"1yP#=X%eiF!#:7$$!1++]P&3Y$HF1$\"1_pT
\\8zHDF17$$!1+++vq@pGF1$\"1#GnEIRnE#F17$$!1+]78.K7GF1$\"1,?]jA*p,#F17$
$!1++D^NUbFF1$\"1XBcQ1G^<F17$$!1+](=>P9p#F1$\"1\"z7NwuvV\"F17$$!1++]K3
XFEF1$\"1-N!4trF6\"F17$$!1+++I./jDF1$\"1CQkYq2&z(!#;7$$!1++]F)H')\\#F1
$\"1QMA#pXyW%FU7$$!1+](oXDXV#F1$\"1D*yx)oF\\6FU7$$!1++D'3@/P#F1$!1Lc&f
HX72#FU7$$!1++vG\"))4J#F1$!1[tCUtu\\\\FU7$$!1++Dr^b^AF1$!1hv__#y<p(FU7
$$!1++D'y:+>#F1$!1Z3&f!*=b.\"F17$$!1++D,kZG@F1$!1OnO'3n4G\"F17$$!1++D
\"GK[1#F1$!1.C+&)>%*4:F17$$!1++Dh\")=,?F1$!1!3)>Ql/6<F17$$!1++DO\"3V(=
F1$!1,L1X\"G0-#F17$$!1+]i&G_!4=F1$!1Q.)REA\"H@F17$$!1+++NkzV<F1$!1nE7T
U.-AF17$$!1+]iSx0:<F1$!1*)4%zy7FA#F17$$!1++DY!>jo\"F1$!1U6-T?ROAF17$$!
1+](=N!ed;F1$!1g0iR74VAF17$$!1++]d;%)G;F1$!1Oh*4l[GC#F17$$!1+]P%p)['f
\"F1$!1Dr#*37MMAF17$$!1++DJd8k:F1$!1H.\"zX=s@#F17$$!1+]7oFyJ:F1$!1,GrG
!>;>#F17$$!1+++0)H%*\\\"F1$!18:%*Q+rd@F17$$!1+++!>eWV\"F1$!1]l!erF`1#F
17$$!1+++vl[p8F1$!13PTkm9U>F17$$!1+++&>iUC\"F1$!1L+)ftvmi\"F17$$!1+]7G
VS(=\"F1$!1(30t#o)QX\"F17$$!1++DhkaI6F1$!11g_/dil7F17$$!1+]7ep$H1\"F1$
!1ZF(3P_[-\"F17$$!1+++]XF`**FU$!1ES*H[#>'p(FU7$$!1+++vL`!Q*FU$!1(**\\x
$3z_aFU7$$!1++++Az2))FU$!1V;vPVCjJFU7$$!1++Dc!e:9)FU$!1lL*\\9]\"yZ!#<7
$$!1++]7RKvuFU$\"1gmTL1'3>#FU7$$!1,+D1Qf&)oFU$\"1!3]'y)Ga]%FU7$$!1-+++
P'eH'FU$\"1Wfk%ykcu'FU7$$!1****\\7*3=+&FU$\"1/)otoNp7\"F17$$!1)***\\PF
cpPFU$\"1;uVNCQ)[\"F17$$!1)****\\7VQ[#FU$\"1X9dDEos<F17$$!1)**\\P9(\\$
*=FU$\"1RqJmu\"p'=F17$$!1)***\\i6:.8FU$\"1hSNiZiO>F17$$!1()*\\i:sw%)*F
fw$\"19wjoStj>F17$$!1$***\\(oKQm'Ffw$\"12Y?X&oL)>F17$$!1***\\(=K**zMFf
w$\"1E+T$=ga*>F17$$!1b+++v`hH!#=$\"1p2%*4r'***>F17$$\"1&**\\ilg4,$Ffw$
\"13?%4<,m*>F17$$\"1&***\\i]2=jFfw$\"1Ps=Hx/&)>F17$$\"1&**\\(o%*=D'*Ff
w$\"1M#R2&*\\`'>F17$$\"1++](QIKH\"FU$\"1i90Y9eP>F17$$\"1******\\4+p=FU
$\"1fG(*\\WIq=F17$$\"1****\\7:xWCFU$\"1Nvoullz<F17$$\"1,++vuY)o$FU$\"1
xH[\\_I4:F17$$\"1)******4FL(\\FU$\"1loA(4Qh8\"F17$$\"1)****\\d6.B'FU$
\"1Q*RqS$*)))pFU7$$\"1***\\785%QoFU$\"1pdRRAx(o%FU7$$\"1++](o3lW(FU$\"
1-W4@rD0BFU7$$\"1***\\iX)p@\")FU$!1qT81e7yRFfw7$$\"1*****\\A))oz)FU$!1
2#>VP%Q>JFU7$$\"1(***\\iid.%*FU$!1.<2m.7WbFU7$$\"1+++Ik-,5F1$!1B[#)*3l
e\"zFU7$$\"1+++D-eI6F1$!1:z!pjTdE\"F17$$\"1++v=_(zC\"F1$!1cI*R=otj\"F1
7$$\"1+++b*=jP\"F1$!1,9;sS[c>F17$$\"1+](=o*pO9F1$!1640,*R!p?F17$$\"1++
v3/3(\\\"F1$!1FJa+\"H\\:#F17$$\"1++]P!Q'G:F1$!1;*))os%o)=#F17$$\"1++Dm
c>g:F1$!1PjD(3^X@#F17$$\"1+++&H`<f\"F1$!13mnI-PKAF17$$\"1++vB4JB;F1$!1
f#fX\"*4?C#F17$$\"1+D1uU;a;F1$!1?nx$*\\UVAF17$$\"1+]PCw,&o\"F1$!1&e*4
\"3YoB#F17$$\"1+vou4(er\"F1$!1$op+\"RAAAF17$$\"1+++DVsY<F1$!1W'4wZM&*>
#F17$$\"1+](=_D8\"=F1$!1P')p&[Nf7#F17$$\"1++v=n#f(=F1$!1P)=cl(Q<?F17$$
\"1+++!)RO+?F1$!17u8\"*yX8<F17$$\"1++D;:*R1#F1$!1@MN;cy7:F17$$\"1++]_!
>w7#F1$!1$>*GRdA%G\"F17$$\"1+]i?(>2>#F1$!1\\sO:\\eK5F17$$\"1++v)Q?QD#F
1$!13y]>\"Q,f(FU7$$\"1+]P\\L!=J#F1$!1')*R[p:6\"\\FU7$$\"1+++5jypBF1$!1
BfqY*)f-@FU7$$\"1++DE8COCF1$\"1i*zh-]nB\"FU7$$\"1++]Ujp-DF1$\"1k,>h]oe
YFU7$$\"1++D,X8iDF1$\"1cT`p:*zu(FU7$$\"1+++gEd@EF1$\"1YYVqja#3\"F17$$
\"1+]PMh%\\o#F1$\"1NTs2*\\]S\"F17$$\"1++v3'>$[FF1$\"1^(>8V]rr\"F17$$\"
1+++5h(*3GF1$\"1s>0YOy,?F17$$\"1++D6EjpGF1$\"1\"pPqS'\\oAF17$$\"1+]i0j
\"[$HF1$\"1!4EwT\"eIDF17$$\"\"$F.F/-%'COLOURG6&%$RGBG$\"#5!\"\"F.F.-%*
THICKNESSG6#\"\"#-F(6%7W7$F,$!1aW+m\\#***)*FU7$F8$!1=H8g`MJ'*FU7$FB$!1
]fLBtej#*FU7$FL$!1O\\$z%3:2()FU7$FW$!1K>2P&GK+)FU7$F[o$!1/e'z2Y4<(FU7$
Feo$!12Gk'**GQH'FU7$F_p$!1/.t9?>#H&FU7$Fip$!1yN<X$pA<%FU7$F^q$!1_)e=PL
())HFU7$Fhq$!1p\\-UWQ@<FU7$F\\s$!1%4>B7u7!eFfw7$F`t$\"1/[;zcfIrFfw7$Fj
t$\"1&)*Q)R!G&**>FU7$F_u$\"1vRS1Bi2KFU7$Fiu$\"1#zY.=b;E%FU7$Fcv$\"1$*z
\"\\/#GUaFU7$F]w$\"1>AwcP]ljFU7$Fhw$\"1nwvsloLtFU7$Fbx$\"1'3)Gr7r#3)FU
7$Fgx$\"1O\"zkBe\\x)FU7$F\\y$\"1yK1DJ*yH*FU7$Fay$\"1<guV)3Jp*FU7$Ffy$
\"1'GCqRo7#)*FU7$F[z$\"1$*QgY*4_\"**FU7$Fez$\"1=q?#)[!y(**FU7$F_[l$\"1
L-^Yh&*****FU7$Fj[l$\"1)RaAgZ+)**FU7$Fd\\l$\"10b%zB%\\;**FU7$Fi\\l$\"1
w4v0'\\e#)*FU7$F^]l$\"1[YME,k-(*FU7$Fc]l$\"13(4UfPuK*FU7$Fh]l$\"1CMob?
e)y)FU7$F]^l$\"16Qa8^8@\")FU7$Fg^l$\"1MG@(eXKN(FU7$Fa_l$\"1#oS%*\\4RP'
FU7$F[`l$\"1[$oL5$Q%R&FU7$F``l$\"1=:xN(\\8E%FU7$Fe`l$\"1olw4?VsJFU7$Fj
`l$\"1lQS`y`K>FU7$Fdal$\"1`HHot\"\\O(Ffw7$Fhbl$!1^NO(HY!\\_Ffw7$F\\dl$
!1+y`p)=-v\"FU7$Ffdl$!1>7Dma</IFU7$F[el$!1^Q^]xxkTFU7$Feel$!1,^&Qf:\\G
&FU7$F_fl$!1$3APt:9J'FU7$Fifl$!1f*>kR?l;(FU7$Fcgl$!1)[#3sQaF!)FU7$F]hl
$!1ca'3X#4y')FU7$Fghl$!1\\&*fTtfO#*FU7$Fail$!1,&3]SiCj*FU7$F[jlF\\[m-F
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TG7&-F(6%FjjlF]jlFdjl-F(6%7ho7$F,$!1l+gWY\"z<%FU7$F8$!1xO&\\Y=I7(FU7$F
B$!1)oxn^ygV*FU7$FL$!1`[Zdg9o6F17$FW$!1%[/\\&[5\\8F17$F[o$!1xaW)3U'y9F
17$F`o$!1r(\\TqM/_\"F17$Feo$!1lU\"))H'G]:F17$$!1++vyay?AF1$!1nn#eb%*4c
\"F17$Fjo$!1c0#ebY%o:F17$$!1++v$4Y#f@F1$!1c&f7cOEd\"F17$F_p$!1<9*oJlNd
\"F17$$!1++DTVl'4#F1$!1TsI)4.6d\"F17$Fdp$!1/Ru&pv^c\"F17$$!1++D@-,L?F1
$!1?gDEc!eb\"F17$Fip$!1!fV\"[E-V:F17$$!1++v[\"[x$>F1$!1uX&fB3v]\"F17$F
^q$!1dI'y&*e*e9F17$Fhq$!1T*pB:i-K\"F17$F\\s$!1y))3`rce6F17$F`t$!1J%)*>
&)[`Q*FU7$Fjt$!1uh6xgx]oFU7$F_u$!1(*Qa/PF(=%FU7$Fdu$!1&>pC#p%4$HFU7$Fi
u$!1^k*oP-vl\"FU7$F^v$!1wap5`LK8Ffw7$Fcv$\"1nR)z&yw(Q\"FU7$Fhv$\"1kn92
OliEFU7$F]w$\"1.-/!)ff:RFU7$Fhw$\"1*fQHe2sp'FU7$Fbx$\"1T)[JDvp$*)FU7$F
gx$\"1W6@!f^s5\"F17$F\\y$\"1x<D\"*ois7F17$Fay$\"1%H%)=Xs)*R\"F17$Ffy$
\"1G`liqaT9F17$F[z$\"1ARPE<As9F17$F`z$\"1M5'e!o6%[\"F17$Fez$\"1l\"QD??
F\\\"F17$Fjz$\"1!z?rc8!)\\\"F17$F_[l$\"1$G&e5c)**\\\"F17$Fe[l$\"1iQ#['
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